[原创]高等数学笔记(9)

【前言】
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【正文】
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$

$x$ 可以从 ${x_0}$ 的左侧趋于 ${x_0}$ ，也可以从右侧趋于 ${x_0}$ 。

当从 ${x_0}$ 的左侧趋于 ${x_0}(x < {x_0})$ 时，记为 $x \to {x_0}^ -$ ，或 $x \to {x_0} - 0$
左极限：对于任意 $\varepsilon > 0$ ，都存在 $\delta > 0$ ，凡适合 ${x_0} - \delta < x < {x_0}$ 的一切 $x$ ，对应的函数值 $f(x)$ 都满足 $\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$ ，则称 $A$ 为 $f(x)$ 的左极限。记为：
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = A$ 或  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f(x) = A$
可统一表示为 $f({x_0} - 0) = A$
文章来源：http://www.codelast.com/
右极限：把定义中 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 改为 ${x_0} < x < {x_0} + \delta$ ，其他不变，则得到右极限的定义。记为：
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = A$ 或  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f(x) = A$
可统一表示为 $f({x_0} + 0) = A$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\; \Leftrightarrow \;f({x_0} - 0),f({x_0} + 0)$ 都存在且极限值都等于 $A$
（注： $\Leftrightarrow$ 表示充分必要条件）
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二、自变量 $x$ 趋向于无穷大（记为 $x \to \infty$ ）时函数 $f(x)$ 的极限
数列 ${u_n} = f(n)$ ，当 $n \to \infty$ 时的极限，可以看作是 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限的特殊情形。
依照数列极限定义，给出 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限定义：
设函数 $f(x)$ 在 $\left| x \right|$ 充分大时有定义， $A$ 为常数，如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，都存在正数 $N$ ，使得凡是适合 $\left| x \right| > N$ 的一切 $x$ ，对应的函数值 $f(x)$ 都满足 $\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$ ，则称当 $x \to \infty$ 时， $f(x)$ 以 $A$ 为极限。记为：
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A$ 或  $f(x) \to A\;(x \to \infty )$

如果只考虑 $x > 0$ ，且 $\left| x \right|$ 无限增大（记为 $x \to + \infty$ ），上面定义中把 $\left| x \right| > N$ 改为 $x > N$ ，就得到 $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = A$ 的定义。
如果只考虑 $x < 0$ ，且 $\left| x \right|$ 无限增大（记为 $x \to - \infty$ ），上面定义中把 $\left| x \right| > N$ 改为 $x < - N$ ，就得到 $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = A$ 的定义。

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A\; \Leftrightarrow \;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$ 和 $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$ 都存在且等于 $A$
（注： $\Leftrightarrow$ 表示充分必要条件）
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例：证明 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{1 + {x^2}}} = 0$
证：
$f(x) = \frac{1}{{1 + {x^2}}},\;A = 0$
$\left| {f(x) - A} \right| = \left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - 0} \right| = \frac{1}{{1 + {x^2}}} < \frac{1}{{{x^2}}} < \varepsilon$
对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，为了使 $\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$ ，只需 $\frac{1}{{{x^2}}} < \varepsilon$ ，即 ${x^2} > \frac{1}{\varepsilon } \Rightarrow \left| x \right| > \frac{1}{{\sqrt \varepsilon }}$
因此，对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，取 $N = \frac{1}{{\sqrt \varepsilon }}$ ，凡是适合不等式 $\left| x \right| > N$ 的一切 $x$ ，对应的函数值 $f(x)$ 都满足：
$\left| {f(x) - A} \right| = \left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - 0} \right| < \varepsilon$
按定义，有 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{1 + {x^2}}} = 0$
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三、无穷小量与无穷大量
1. 无穷小（量）
 如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 0$ ），则称当 $x \to {x_0}$ （或 $x \to \infty$ ）时， $f(x)$ 是无穷小（量）。

注意：
①不能把一个很小的数看作无穷小。
②常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数。

2. 无穷大（量）
如果当 $x \to {x_0}$ （或 $x \to \infty$ ）时，对应的函数值 $f(x)$ 的绝对值无限增大，则称当 $x \to {x_0}$ （或 $x \to \infty$ ）时， $f(x)$ 是无穷大（量）。
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或者这样表述：
若对于任意给定的正数 $M > 0$ （无论 $M$ 多么大），总存在 $\delta > 0$ ，凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ ，对应的函数值 $f(x)$ 都满足 $\left| {f(x)} \right| > M$ ，则称当 $x \to {x_0}$ 时， $f(x)$ 是无穷大，记为 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty$
注意：上式并不说明极限存在，只是说明其极限为无穷大量，无穷大不是一个常数。

把上面定义中的“总存在 $\delta > 0$ ，凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ ”改为“总存在正数 $N$ ，凡是适合不等式 $\left| x \right| > N$ 的一切 $x$ ”，其余表述不变，则得到 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty$
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（第9课完）

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