【正文】
四、极限的四则运算公式
以下公式中，自变量都是 x→x0 ，或者都是 x→∞
设 limf(x)=A,limg(x)=B ，则有：
1. lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x)
2. lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x)
若 C 是常数，则 lim[Cf(x)]=CA=Climf(x)
若 n 是正整数， lim[f(x)]n=lim[f(x)⋅f(x)⋯f(x)]=An=[limf(x)]n
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证明：
由函数极限与无穷小的关系：
limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),limα(x)=0
limg(x)=B⇔g(x)=B+β(x),limβ(x)=0
f(x)g(x)=[A+α(x)][B+β(x)]=AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)]=AB+γ(x)
其中 γ(x)=Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)
由无穷小的性质，可知 γ(x) 是无穷小，即 f(x)g(x)=AB+γ(x),limγ(x)=0
lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)⋅limg(x)
证毕。
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3. 若 B≠0 ，则 limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)
证：
f(x)g(x)−AB=A+α(x)B+β(x)−AB=Bα(x)−Aβ(x)B[B+β(x)]
f(x)g(x)=AB+γ(x),γ(x)=Bα(x)−Aβ(x)B[B+β(x)]
由于 Bα(x),Aβ(x) 都是无穷小
因此 lim[Bα(x)−Aβ(x)]=0 ，即分子为无穷小
又因为 limB[B+β(x)]=lim[B2+Bβ(x)]=B2≠0
由无穷小性质3可知 limγ(x)=0
证毕。
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4. 设 f(x)≥g(x) ，而 limf(x)=A,limg(x)=B ，则必有 A≥B
证：
令 F(x)=f(x)−g(x)≥0 ，则权限的四则运算公式得：
limF(x)=lim[f(x)−g(x)]=limf(x)−limg(x)=A−B
根据函数值与极限值的同号性定理，可知：
limF(x)=A−B≥0⇒A≥B
证毕。
f(x)g(x)=AB+γ(x),γ(x)=Bα(x)−Aβ(x)B[B+β(x)]
由于 Bα(x),Aβ(x) 都是无穷小
因此 lim[Bα(x)−Aβ(x)]=0 ，即分子为无穷小
又因为 limB[B+β(x)]=lim[B2+Bβ(x)]=B2≠0
由无穷小性质3可知 limγ(x)=0
证毕。
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4. 设 f(x)≥g(x) ，而 limf(x)=A,limg(x)=B ，则必有 A≥B
证：
令 F(x)=f(x)−g(x)≥0 ，则权限的四则运算公式得：
limF(x)=lim[f(x)−g(x)]=limf(x)−limg(x)=A−B
根据函数值与极限值的同号性定理，可知：
limF(x)=A−B≥0⇒A≥B
证毕。
例1. 求 limx→−12x2+x−43x2+2
解：
limx→−1(3x2+2)=limx→−1(3x2)+limx→−12=3limx→−1x2+2=3(limx→−1x)2+2=3⋅(−1)2+2=5
limx→−1(2x2+x−4)=limx→−1(2x2)+limx→−1x−limx→−14=2(limx→−1x)2−1−4=2⋅(−1)2−5=−3
所以 limx→−12x2+x−43x2+2=limx→−1(2x2+x−4)limx→−1(3x2+2)=−35
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一般地，有：
R(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anb0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm
分母的极限：
所以 limx→−12x2+x−43x2+2=limx→−1(2x2+x−4)limx→−1(3x2+2)=−35
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一般地，有：
R(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anb0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm
分母的极限：
limx→x0(b0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm)=limx→x0m∑j=0bjxm−j=m∑j=0(limx→x0bjxm−j)=m∑j=0bjx0m−j
分子的极限：
limx→x0(a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an)=limx→x0m∑i=0aixn−i=⋯=n∑i=0aix0n−i
若分母极限 m∑j=0bjx0m−j≠0 ，则：
limx→x0R(x)=n∑i=0aix0n−im∑j=0bjx0m−j=R(x0)
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例2. 求 limx→2x2−3x+2x2−5x+6
解：
由于 limx→2(x2−5x+6)=4−10+6=0 ，所以不能用极限的四则运算公式。
原式 =limx→2(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)=limx→2x−1x−3=1−1=−1
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（第13课完）
分子的极限：
limx→x0(a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an)=limx→x0m∑i=0aixn−i=⋯=n∑i=0aix0n−i
若分母极限 m∑j=0bjx0m−j≠0 ，则：
limx→x0R(x)=n∑i=0aix0n−im∑j=0bjx0m−j=R(x0)
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例2. 求 limx→2x2−3x+2x2−5x+6
解：
由于 limx→2(x2−5x+6)=4−10+6=0 ，所以不能用极限的四则运算公式。
原式 =limx→2(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)=limx→2x−1x−3=1−1=−1
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（第13课完）
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