选主元的高斯-约当（Gauss-Jordan）消元法在很多地方都会用到，例如求一个矩阵的逆矩阵、解线性方程组（插一句：LM算法求解的一个步骤），等等。它的速度不是最快的，但是它非常稳定（来自网上的定义：一个计算方法，如果在使用此方法的计算过程中，舍入误差得到控制，对计算结果影响较小，称此方法为数值稳定的），同时它的求解过程也比较清晰明了，因而人们使用较多。下面我就用一个例子来告诉你Gauss-Jordan法的求解过程吧。顺便再提及一些注意事项以及扩展话题。
对本文中所提到的“主元”等概念的解释，可以参考此链接。
假设有如下的方程组：
写成矩阵形式就是：AX=B，其中：
且X=(X1, X2, X3)T。
现对矩阵A作初等变换，同时矩阵B也作同样的初等变换，则当A化为单位矩阵的时候，有：
显而易见，我们得到了方程组的解X=(1, 2, 4)T。
所以，我们要以一定的策略，对A和B施以一系列的初等变换，当A化为单位矩阵的时候，B就为方程组的解。
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。这就是一个循环内做的工作。然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。余下的步骤依此类推。具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。
如果要解系数矩阵相同、右端向量不同的N个方程组，在设计程序的时候，没有必要”解N次方程组“，我们完全可以在程序中，将所有的右端向量以矩阵的数据结构（类似于二维数组）来表示，在系数矩阵作行变换的时候，矩阵里的每一个右端向量也做同样的变换，这样，我们在一次求解运算的过程中，实际上就是同时在解N个方程组了，这是要注意的地方。
那么，G-J法为什么可以用来求逆矩阵？
假设AX=E，其中，A为n阶系数矩阵（与上面的解线性方程组对照）；E为单位矩阵，即E=(e1,e2,…,en)，其中ei (i=1,2,…,n) 为单位列向量；X为n个列向量构成的矩阵，即X=(x1,x2,…,xn)，其中xi (i=1,2,…,n) 为列向量。于是，可以把等式AX=E看成是求解n个线性方程组Axi=ei (i=1,2,…,n)，求出了所有的xi之后，也即得到了矩阵X。而由AX=E可知，矩阵X是A的逆矩阵，即X=A-1。这样，就求出了A的逆矩阵了。于是，求逆矩阵的过程被化成了解线性方程组的过程，因此我们可以用Gauss-Jordan消元法来求逆矩阵。
求逆矩阵时，系数矩阵A和单位矩阵E可以共用一块存储区，在每一次约化过程中，系数矩阵逐渐被其逆矩阵替代。
在这里，我用一个实际的例子来说明G-J法求逆矩阵的过程：
有如下的方程组：
显而易见，该方程组对应的系数矩阵A和右端向量矩阵B（此处只有一个右端向量）分别为：
其实在求逆矩阵的过程中，矩阵B无关紧要，可以忽略，不过此处还是把它写出来了。下面，把单位矩阵E附在A的右边，构成另一个矩阵（A|E）：
下面，我们就通过矩阵的初等变换，将A化为单位矩阵E，而E则化为了A的逆矩阵。以下是转化步骤：
- 【Step 01】主元选为3，所以将Row1（第一行）与Row2（第二行）交换：
- 【Step 02】主元所在行的所有元素除以主元：
- 【Step 03】Row1 - Row2，Row3 - 2 × Row2：
现在，原来的矩阵A有一列被化为了单位阵的形式。
- 【Step 04】重新选主元，这一次主元选为5/3，于是Row1 ÷ 5/3（主元所在行的所有元素除以主元）：
- 【Step 05】Row2 - (1/3) × Row1，Row3 - (4/3) × Row1：
现在，原来的矩阵A又有一列被化为了单位阵的形式。
- 【Step 06】重新选主元，这一次主元选为-1/5，于是Row3 ÷ (-1/5)（主元所在行的所有元素除以主元）：
- 【Step 07】Row1 - (2/5) × Row3，Row2 - (1/5) × Row3：
现在，原来的矩阵A的所有列都被化为了单位阵的形式。
可见，以上过程非常适合于计算机编程求解。
至此，我们完成了从A到E的转换，这个过程中使用了选主元的方法，但没有使用列交换。于是，原来的单位矩阵E就变成了A-1，即：
有人说，在进行转化的过程中，如果某一步发现选中的主元为0，怎么办？当然，这种情况就进行不下去了（矩阵是奇异的）。
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如果存在多个解，且是在二进制域里进行计算 ，此方法怎么处理呢？
比如方程组：x2+x3+x5=1; x1+x2+x3=0; x1+x2+x4+x5=0; x3+x4+x5=0; x1+x3+x4=1
根据上面的方法，得到唯一答案是：x1=1, x2=1, x3=0, x4=0, x5=0 。实际上有四个解的。
博主，请问有具体代码吗？感激不尽
这个太久了找不到了...不过应该网上一搜一大把很容易找到
楼主，你好！看了你的这篇文章，收获很大。我按文中所述方法写了程序，能够运行，但是存在一定的误差。
对于文中对A求逆，我采用我的程序进行了运算，所得的结果为：
第一行： -1.000000000000000 -1.000000000000000 1.999999999999999
第二行： 0.000000000000000 -1.000000000000000 1.000000000000000
第三行：1.999999999999999 3.999999999999999 -4.999999999999998
请问楼主，如何才能得到更精确的答案（您的文中的答案）？
请楼主看到留言后尽快回复。多谢多谢！！！
半年前做过一个矩阵的求逆公式，今天看到了，一下子回想起很多，顶楼主！
当时做的是高斯列选主元消去法，解线性方程组。嗯、1000x1000阶的。当时是参照算法导论来的，和博主说的还是有些差异的。博主说的初等行变换应该是我当时说给PM的那个。但是后来鉴于时间因素，所以先做了高斯列选主元。。。
如何选主元？
看你的文章，受益菲浅
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谢
求拜师
写了个矩阵类，欢迎围观
哈哈我又来了
首先支持原创，大赞此文！
其次是建议：
1 文中向量请用黑体；
2 严格说，解方程组时用的是初等行变换，并不是初等变化；
3 文中E的说明有误；
4 博主在数学概念页面中的主元这个词条没解释好；
5 貌似全选主元比较流行些，一层层下去，容易找主元嘛~
黑体在我的这个WordPress中经常打不出来，大概是因为装了FCKEditor插件，在某些情况下发生的，所以我基本不会去弄黑体了。数学概念的那些解释确实有些只是随便写了一下，正确性不一定保证的，年纪大了，有时候只是想把东西记下来，将来方便自己查阅，个人水平有限，也不可能等到确认万无一失了再发出来，呵呵。基础理论的东西忘了不少，现在主要是偏重于应用了，比不了你们还正处在理论清晰时期的学生们了，我只能说惭愧惭愧
很负责的博主，小生要求交换友链~~
链接已添加，在首页右部可以找到
数学概念这个页面中
大O和小o分别代表同阶无穷小与高阶无穷小，注意不要弄混了。例如，β与α是同阶无穷小，记作β=O(α)；β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α) 。
额，同阶无穷小的符号我还是第一次看到，lz不要骗人哦~~~
我不记得我在什么资料里看到的了，目前能搜到的说法有这些：
链接1，链接2，链接3，链接4
不错~~
看了你的about 顺便说句 我是vimor
职业目标DBA~