[原创]漫谈line search中的Fibonacci搜索与黄金比例搜索

在一维搜索（line search）中，Fibonacci搜索与黄金比例搜索是一对“亲兄弟”，因为它们都是用分割区间的方法来求极小值，所以过程是相似的。本文就随意聊一下它们的区别与联系。

从名字上看，Fibonacci搜索算法当然与Fibonacci数列有关。
Fibonacci数列用如下式子表达：
${F_0} = 0,\;{F_1} = 1,\;{F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}$
即：第1个数为0，第2个数为1，后面的每个数都是前两个数之和，例如 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
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Fibonacci搜索算法就是利用了该数列进行区间的分割。与黄金比例搜索算法每次分割区间时使用固定的比例（0.618）不同，Fibonacci搜索算法的区间缩短率是不固定的 $\frac{{{F_{i - 1}}}}{{{F_i}}}$ 。

Fibonacci搜索算法要先确定搜索点的个数，并且在用分割方法求一维极小化问题时，Fibonacci是最优的策略（袁亚湘的书上说这个是可以证明的，但我没看怎么证明）。但跟Golden Section Search相比，由于Golden Section Search简单，所以更常用。并且，在实际中，为了能达到更快的收敛速度，通常会让Golden Section Search配合使用逆抛物内插或其他超线性收敛技术（例如复杂的Brent算法，就是结合了黄金分割+逆抛物内插的可靠line search算法），所以，也不是非用Fibonacci不可。
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最后，Fibonacci搜索算法是线性收敛的，它的极限形式正是Golden Section Search，即：
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{F_{n - 1}}}}{{{F_n}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \approx 0.618$

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