[原创]高等数学笔记(12)

【前言】
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【正文】
<定理>  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A$ ），A为常数 $\Leftrightarrow \;f(x) = A + \alpha (x)$ ，且 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \alpha (x) = 0$ ）

证：
左推右：设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A$ ，下面只证前一种情况），根据函数极限定义，对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，一定存在 $\delta > 0$ ，使得适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ 所对应的 $f(x)$ ，恒有 $\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$ 。
令 $\alpha (x) = f(x) - A$ ，就有 $\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon$
从而有 $f(x) = A + \alpha (x),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$
文章来源：http://www.codelast.com/
右推左：设 $f(x) = A + \alpha (x),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$
根据极限定义，对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，一定存在 $\delta > 0$ ，使得凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ 所对应的 $f(x)$ ，恒有 $\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon$
由 $f(x) = A + \alpha (x) \Rightarrow \alpha (x) = f(x) - A$
由 $\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$ ，即 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$
证毕。

三、无穷小的性质
1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
证：
只证两个无穷小的情形（更多个的情形，用数学归纳法便可得结果）。
设有 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \beta (x) = 0$ ，需要证明： $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\alpha (x) + \beta (x)} \right] = 0$
由极限定义可知：任意给定正数 $\varepsilon > 0$ ，对正数 $\frac{\varepsilon }{2} > 0$ ，一定存在 ${\delta _1} > 0$ ，使得凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _1}$ 的一切 $x$ 所对应的 $\alpha (x)$ ，恒有 $\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$
同理，对正数 $\frac{\varepsilon }{2} > 0$ ，一定存在 ${\delta _2} > 0$ ，使得凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2}$ 的一切 $x$ 所对应的 $\beta (x)$ ，恒有 $\left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$
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取 $\delta = \min \left\{ {{\delta _1},{\delta _2}} \right\} > 0$ ，当 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 时，这些 $x$ 所对应的 ${\alpha (x)}$ ， ${\beta (x)}$ 同时满足：
$\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2},\;\left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$
从而有：
$\left| {\alpha (x) + \beta (x)} \right| \le \left| {\alpha (x)} \right| + \left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon$
因此 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\alpha (x) + \beta (x)} \right] = 0$ ，即当 ${x \to {x_0}}$ 时， ${\alpha (x) + \beta (x)}$ 是无穷小。
证毕。

2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
证：
设 $f(x)$ 在 $N({{\hat x}_0},{\delta _1}),\;{\delta _1} > 0$ 内有界，即存在 $M > 0,\;{\delta _1} > 0$ ，使得 $f(x) \le M,\;x \in N({{\hat x}_0},{\delta _1})$
又设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$ （即当 ${x \to {x_0}}$ 时， $\alpha (x)$ 是无穷小）
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要证明的是：当 ${x \to {x_0}}$ 时， $f(x)\alpha (x)$ 是无穷小。
即要证： $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)\alpha (x)} \right] = 0$
根据极限，任意给定 $\varepsilon > 0$ ，对 $\frac{\varepsilon }{M} > 0$ ，一定存在 ${\delta _2} > 0$ ，使得适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2}$ 的一切 $x$ 所对应的 $\alpha (x)$ 恒有 $\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{M}$
现取 $\delta = \min \left\{ {{\delta _1},{\delta _2}} \right\} > 0$ ，则凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ ，都会使 $\left| {f(x)} \right| \le M$ ，且 $\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{M}$
从而有 $\left| {f(x)\alpha (x)} \right| = \left| {f(x)} \right|\left| {\alpha (x)} \right| < M \cdot \frac{\varepsilon }{M} = \varepsilon$
即 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)\alpha (x)} \right] = 0$
证毕。

对一个常数 $C,\;f(x) \equiv C$ 为有界函数；对 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \gamma (x) = 0$ ，在 $N({{\hat x}_0})$ 内 $\gamma (x)$ 是有界函数，所以有：
${1^ \circ }$ 常数与无穷小的乘积仍是无穷小
${2^ \circ }$ 两个无穷小的乘积仍是无穷小（有限个无穷小的乘积仍是无穷小）
${3^ \circ }$ 设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \ne 0,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$ （或 $x \to \infty$ ），则 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = 0$ （或 $x \to \infty$ ）
证：
$\frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = \frac{1}{{f(x)}} \cdot \alpha (x)$
要证 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = 0$ （即 $\frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}}$ 是无穷小），只需证 $\frac{1}{{f(x)}}$ 是有界的，再由性质 ${2^ \circ }$ 就可得到性质 ${3^ \circ }$ 的结论。
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因为 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \ne 0$ ，由极限定义，对给定正数 $\varepsilon = \frac{{\left| A \right|}}{2} > 0$ ，必定存在 $\delta > 0$ ，使得凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ 所对应的 $f(x)$ ，恒有 $\left| {f(x) - A} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2}$
又由 $\left| A \right| - \left| {f(x)} \right| \le \left| {f(x) - A} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2} \Rightarrow \left| A \right| - \left| {f(x)} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2} \Rightarrow \left| A \right| - \frac{{\left| A \right|}}{2} < \left| {f(x)} \right|$ （注：两个数差的绝对值一定 $\ge$ 它们绝对值的差）
因此 $0 < \frac{{\left| A \right|}}{2} < \left| {f(x)} \right|$
因此 $\left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| < \frac{2}{{\left| A \right|}}$ （ $\frac{2}{{\left| A \right|}}$ 相当于有界函数定义中的 $M$ ）
因此 ${\frac{1}{{f(x)}}}$ 在 $N({{\hat x}_0},\delta )$ 内是有界的。
所以结论成立。
证毕。
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（第12课完）

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