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[原创]高等数学笔记(2)

【前言】
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【正文】
去心邻域:把 N(a,δ) 的中心点 a 去掉,称为点 a 的去心邻域,记为 N(ˆa,δ)={x|0<|xa|<δ}=N(a,δ){a}
:其中, {a} 表示去掉由 a 这一个数组成的数集。

二、函数概念
例1. 设圆的半径为 x(x>0) ,它的面积 A=πx2 ,当 x(0,+) 内任取一个数值(记为 x(0,+) )时,由关系式 A=πx2 就可以确定A的对应数值。
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例2. 设有半径为 r 的圆,作圆的内接正 n 边形,每一边对应的圆心角 α=2πn ,周长 Sn=n2rsinπn ,当边数 n 在自然数集 N(n3) 任取一个数,通过关系式 Sn=2nrsinπn 就有一个 Sn 对应确定数值。

函数定义:设有数集 X,Yf 是一个确定的对应法则,对 xX ,通过对应法则 f 都有唯一的 yYx 对应,记为 xfy ,或 f(x)=y ,则称 f 为定义在 X 上的函数。
其中 X 称为 f定义域,常记为 Df
X ——自变量, Y ——因变量。
X 遍取 X 中的一切数时,那么与之对应的 y 值构成一个数集 Vf={y|y=f(x),xX} ,称 Vf 为函数 f值域
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注意:
(1)一个函数是由 x,y 的对应法则 fx 的取值范围 X 所确定的。把“对应法则 f ”、“定义域”称为函数定义的两个要素。
例如, y=arcsin(x2+2) 这个式子,由于 x2+2>2 ,而只有当 |x2+2|1 时, arcsin 才有意义,因此这个式子不构成函数关系。
又例如, y=lnx2y=2lnx 不是同一个函数,因为定义域不同。而 y=lnx2y=2ln|x| 是同一个函数,因为定义域相同。

(2)函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。

(3)确定函数定义域时,注意:若函数有实际意义,需依据实际问题是否有意义来确定。
若函数不表示某实际问题,则定义域为自变量所能取得的使函数 y=f(x) 成立的一切实数所组成的数值。
函数的几何意义:设函数 y=f(x) 定义域为 DfxDf ,对应函数值 y=f(x)XOY 平面上得到点 (x,y) ,当 x 遍取 Df 中一切实数时,就得到点集 P={(x,y)|y=f(x),xDf} 。点集 P 称为函数 y=f(x) 的图形。
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三、函数的几个简单性质
1. 函数的有界性
M>0,s.t.|f(x)|M,xI ,则称 y=f(x) 在区间 I有界。否则称 f(x)I无界
注: s.t. 是“使得,满足于”的意思, I 表示某个区间。
例如, y=sinxI=(,+) )上是有界的(因为 |sinx|1,x(,+) )。
又如, y=1x2+1(,+) 上有界。

对任何正数 M>0 (无论多么大),总 x1I,s.t.|f(x1)|>M ,则称 f(x)I 上无界。
例如, y=1x(0,1) 内无界。
证明:
对给定的 M>0 (不妨设 M>1 ),无论M多么大,必存在 x1=12M(0,1) ,使 f(x1)=112M=2M>M
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(第2课完)

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