[原创]高等数学笔记(2) – 编码无悔 / Intent & Focused

【前言】
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：把 $N(a,\delta )$ 的中心点 $a$ 去掉，称为点 $a$ 的去心邻域，记为 $N(\hat a,\delta ) = \{ x|0 < |x - a| < \delta\} = N(a,\delta )\backslash \{ a\}$
：其中， $\backslash \{ a\}$ 表示去掉由 $a$ 这一个数组成的数集。

例1. 设圆的半径为 $x(x > 0)$ ，它的面积 $A = \pi {x^2}$ ，当 $x$ 在 $(0, + \infty )$ 内任取一个数值（记为 $\forall x \in (0, + \infty )$ ）时，由关系式 $A = \pi {x^2}$ 就可以确定A的对应数值。
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例2. 设有半径为 $r$ 的圆，作圆的内接正 $n$ 边形，每一边对应的圆心角 $\alpha = \frac{{2\pi }}{n}$ ，周长 ${S_n} = n \cdot 2r\sin \frac{\pi }{n}$ ，当边数 $n$ 在自然数集 $N(n \ge 3)$ 任取一个数，通过关系式 ${S_n} = 2nr\sin \frac{\pi }{n}$ 就有一个 ${S_n}$ 对应确定数值。

：设有数集 $X,Y$ ， $f$ 是一个确定的对应法则，对 $\forall x \in X$ ，通过对应法则 $f$ 都有唯一的 $y \in Y$ 与 $x$ 对应，记为 $x\mathop \to \limits^f y$ ，或 $f(x) = y$ ，则称 $f$ 为定义在 $X$ 上的函数。
其中 $X$ 称为 $f$ 的，常记为 ${D_f}$ 。
$X$ ——自变量， $Y$ ——因变量。
当 $X$ 遍取 $X$ 中的一切数时，那么与之对应的 $y$ 值构成一个数集 ${V_f} = \{ y|y = f(x),x \in X\}$ ，称 ${V_f}$ 为函数 $f$ 的值域。
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注意：
一个函数是由 $x,y$ 的对应法则 $f$ 与 $x$ 的取值范围 $X$ 所确定的。把“对应法则 $f$ ”、“定义域”称为函数定义的两个要素。
例如， $y = \arcsin ({x^2} + 2)$ 这个式子，由于 ${x^2} + 2 > 2$ ，而只有当 $|{x^2} + 2| \le 1$ 时， $\arcsin$ 才有意义，因此这个式子不构成函数关系。
又例如， $y = \ln {x^2}$ 与 $y = 2\ln x$ 不是同一个函数，因为定义域不同。而 $y = \ln {x^2}$ 与 $y = 2\ln |x|$ 是同一个函数，因为定义域相同。

（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。

确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。
若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数 $y = f(x)$ 成立的一切实数所组成的数值。
函数的几何意义：设函数 $y = f(x)$ 定义域为 ${D_f}$ ， $\forall x \in {D_f}$ ，对应函数值 $y = f(x)$ 在 $XOY$ 平面上得到点 $(x,y)$ ，当 $x$ 遍取 ${D_f}$ 中一切实数时，就得到点集 $P = \{ (x,y)|y = f(x),x \in {D_f}\}$ 。点集 $P$ 称为函数 $y = f(x)$ 的图形。
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三、函数的几个简单性质

若 $\exists M > 0,\;\;s.t.\;\;|f(x)| \le M,\;x \in I$ ，则称 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上。否则称 $f(x)$ 在 $I$ 上。
注： $s.t.$ 是“使得，满足于”的意思， $I$ 表示某个区间。
例如， $y = \sin x$ 在 $I = ( - \infty , + \infty )$ )上是有界的（因为 $\;|\sin x| \le 1,\;x \in ( - \infty , + \infty )$ ）。
又如， $y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}$ 在 $( - \infty , + \infty )$ 上有界。

对任何正数 $M > 0$ （无论多么大），总 $\exists {x_1} \in I,\;\;s.t.\;\;|f({x_1})| > M$ ，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界。
例如， $y = \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内无界。
证明：
对给定的 $M > 0$ （不妨设 $M > 1$ ），无论M多么大，必存在 ${x_1} = \frac{1}{{2M}} \in (0,1)$ ，使 $f({x_1}) = \frac{1}{{\frac{1}{{2M}}}} = 2M > M$
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（第2课完）