[原创]高等数学笔记(21)

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x,}\\{1,}\\{x,}\end{array}}\right.\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \le x < 0}\\{x = 0}\\{0 < x \le 1}\end{array}$
函数图像如下图所示：

$f(x)$ 在 $[ - 1,1]$ 上的 $x = 0$ 点处不连续， $f(x)$ 在 $[ - 1,1]$ 内无最小值。
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2.有界性定理
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。
证：设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，由性质1（最大、最小值定理）可知：一定存在最大值 $M$ 和最小值 $m$ ，使 $m \le f(x) \le M,\;x \in [a,b]$
所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上既有上界，也有下界 $\Rightarrow f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
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3.零值点定理
使函数 $f(x)$ 的函数值等于0的点 ${x_0}$ （即 $f({x_0}) = 0$ ）称为 $f(x)$ 的零值点。
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a)f(b) < 0$ ），则至少存在一点 $\xi$ ，使 $f(\xi ) = 0$ 。
若 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则函数曲线 $y = f(x)$ 是连续曲线，两端点为 $A(a,f(a)),B(b,f(b))$ 。
因为 $f(a),f(b)$ 异号，点 $A,B$ 在 $x$ 轴上、下两侧，连接 $A,B$ 的连续曲线必定与 $x$ 轴相交，此交点即为 $f(x)$ 的零值点。

4.介值定理
设 $f(x) \in C\left[ {a,b} \right]$ （即在 $[a,b]$ 上连续），且 $f(a) = A,f(b) = B,A \ne B$ ，则对于数 $C$ （ $C$ 介于 $A,B$ 之间），则至少存在一点 $\xi$ ，使 $f(\xi ) = C$ 。
证：
不妨设 $A < B$ ，即 $A < C < B$
作函数 $F(x) = f(x) - C$ 在 $[a,b]$ 上连续（两个连续函数的差是连续的）
$F(a) = f(a) - C = A - C < 0$
$F(b) = f(b) - C = B - C > 0$
所以 $F(a),F(b)$ 异号
所以由结论3可得结论4。
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推论：设 $f(x) \in C\left[ {a,b} \right]$ ，令 $m = \mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} f(x),M = \mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} f(x)$ ，则 $m < M$ ，而数 $\mu :\;\;m < \mu < M$ ，则至少存在一点 $\xi$ ，使 $f(\xi ) = \mu$
证：
由性质1可知，至少存在点 ${x_1},{x_2} \in [a,b]$ ，使 $f({x_1}) = m,f({x_2}) = M$
则函数 $f(x)$ 在 $[{x_1},{x_2}]$ 或 $[{x_2},{x_1}]$ 上是连续的（注：因为不知道 ${x_1},{x_2}$ 谁大谁小，所以有两种情况）
在 $[{x_1},{x_2}]$ 或 $[{x_2},{x_1}]$ 上利用性质4即得结论。
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例1. 设 $f(x) \in C\left( {a,b} \right)$ （即 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续）， ${x_i} \in (a,b)\;(i = 1,2, \cdots ,n)$ ，请证明：至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi ) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n}$
证：
令 $c = \min \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} ,\;d = \max \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\}$
则 $[c,d] \subset (a,b)$ ，且 $f(x) \in C\left[ {c,d} \right]$
由性质1可知，一定存在 $m = \mathop {\min }\limits_{x \in [c,d]} f(x),M = \mathop {\max }\limits_{x \in [c,d]} f(x)$
从而有 $m \le f({x_1}) \le M,\;m \le f({x_2}) \le M,\; \cdots ,m \le f({x_n}) \le M$
n个不等式相加：
$nm \le f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n}) \le nM$
$m \le \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n} \le M$
由性质4推论即得结论成立：至少存在一点 $\xi \in [c,d] \subset (a,b)$ ，使 $f(\xi ) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n}$
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（第21课完）

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