【正文】
<定义2> 设函数 在 点的左侧 ( )有定义,如果极限 存在,则称此极限为 在 点的左导数,记为
类似有右导数:
显然有:
在 点可导 存在且
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如果 在 内可导,且 和 存在,则称 在 上可导,记为
三、导数的几何意义
由实例2(曲线上一点处切线的斜率问题)及导数定义:
可知 表示割线 的斜率
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在几何上表示曲线上一点 点处切线 的斜率 , 是切线 的倾角。
根据导数几何意义及平面解析几何关于直线方程的知识(点斜式方程):
切线方程为:
曲线上点 的法线(过 点且与该点处的切线垂直的直线,称为曲线在 点的法线)方程是什么?
已知:切线斜率
而切线与法线垂直,故法线斜率 (与切线斜率互为负倒数,其中 )
所以法线方程为:
若 在 点处 (表示切线垂直于 轴),则切线方程为
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例1. 求曲线 在 处的切线方程和法线方程。
解:先求导数: ,则
切线斜率 ,法线斜率
因此切线方程为:
法线方程为:
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思考:曲线 外有一点 ,过 点作曲线的切线,怎样求该切线的方程?
四、函数的可导性与连续性的关系
<定理> 如果函数 在 点可导,则 在 点必定连续。
证:设 的自变量 在 点有增量 ,函数对应的增量
要证 在 点处连续,也就是要证 (注:为什么?见第18课的连续性定义)
由于 在 点可导,从而有: 存在,且
根据有极限的函数与无穷小的关系( )可知:
即:
两边取极限:
(注: 为两个无穷小的乘积,仍为无穷小)
因此函数 在 点处连续(连续是可导的必要条件)
定理的逆命题不成立,即函数在一点连续,也不一定是可导的。
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(第23课完)
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