[原创]高等数学笔记(24) – 编码无悔 / Intent & Focused

【前言】
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例2. 证明函数 $y = \sqrt[3]{x},y = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ 在 $x = 0$ 点连续，但是在 $x = 0$ 点不可导。

证：
对 $y = \sqrt[3]{x}$ ，自变量在 $x = 0$ 点有增量 $\Delta x$ ，则 $\Delta y = \sqrt[3]{{0 + \Delta x}} - \sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{{\Delta x}}$
因此 ${(\Delta y)^3} = \Delta x$
因为 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {(\Delta y)^3} = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y} \right)^3} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0$
所以 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$
所以 $y = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$ 点连续（注：由第18课的连续性定义可知）
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下面证明导数不存在。
第一个函数：
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{{(\Delta x)}^{\frac{2}{3}}}}} = \infty$
因此 $y = \sqrt[3]{x}$ 在 $x = 0$ 点不可导。

第二个函数：
对 $y = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x,x \ge 0}\\{ - x,x < 0}\end{array}} \right.$ ，易证 $y = \left| x \right|$ 在 $x = 0$ 点连续（这里就不详细写了）
设自变量 $x$ 在 $x = 0$ 点有增量 $\Delta x$ ，则：

$\Delta y = \left| {0 + \Delta x} \right| - \left| 0 \right| = \left| {\Delta x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta x,\Delta x > 0}\\{ - \Delta x,\Delta x < 0}\end{array}} \right.$
在

$x = 0$ 处的右导数

${{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1$
在

$x = 0$ 处的左导数

${{f'}_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1$
因为

${{f'}_ + }(0) \ne {{f'}_ - }(0)$
所以

$y = f(x) = \left| x \right|$ 在

$x = 0$ 点不可导（注：由第23课开头的定义可知）
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从函数图形上很容易看出来：

对右图，在

$x = 0$ 点处，切线垂直于

$x$ 轴，斜率为无穷大，故不可导。
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五、几个基本初等函数的导数公式
1. 常数

$C$ ：

$f(x) \equiv C, - \infty < x < + \infty$
下面推导其导数：
令

$y = f(x) \equiv C,\;\forall x \in ( - \infty , + \infty )$

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = C - C = 0$

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{{\Delta x}} = 0$
因此

${\left( C \right)^\prime } = 0$
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2. 幂函数

$y = f(x) = {x^\alpha }$ （

$\alpha$ 为实常数）
下面推导其导数：
当

$\alpha = n(n \in N)$ 时，有

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = {(x + \Delta x)^n} - {x^n}$
按二项式定理展开前面的

${(x + \Delta x)^n}$ ，得：

$\Delta y = \left[ {{x^n} + n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{{(\Delta x)}^2} + \cdots + {{(\Delta x)}^n}} \right] - {x^n}$

$= n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{(\Delta x)^2} + \cdots + {(\Delta x)^n}$
因此

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = n{x^{n - 1}} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\Delta x + \cdots + {(\Delta x)^{n - 1}}$
因此

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {n{x^{n - 1}} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\Delta x + \cdots + {{(\Delta x)}^{n - 1}}} \right] = n{x^{n - 1}}$
（注：从第二项开始，每一项的极限均为0）
因此

$({x^n})' = n{x^{n - 1}}$

$\alpha$ 为任何实常数时，

$({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$ ，这个结论以后再证明。
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3. 正弦、余弦函数

$y = f(x) = \sin x,f(x) = \cos x$
先来推导正弦函数的导数：

$y = \sin x,\; - \infty < x < + \infty$

$\forall x \in ( - \infty , + \infty )$ ，自变量有增量

${\Delta x}$ ，函数

$y = \sin x$ 的增量

$\Delta y = \sin (x + \Delta x) - \sin x = 2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})$
（注：三角函数的和差化积公式）
因此

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})}}{{\Delta x}}$
因此

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos (x + \frac{{\Delta x}}{2}) = 1 \cdot \cos x = \cos x$
（注：

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} = 1$ 是重要极限之一；

$y = \cos x$ 是连续函数，因此

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})$ 的极限号可以放进去）
因此

$(\sin x)' = \cos x$
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再来推导余弦函数的导数：

$y = \cos x,\; - \infty < x < + \infty$

$\forall x \in ( - \infty , + \infty )$ ，

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos (x + \Delta x) - \cos x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}$

$= - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right) = - \sin x$
因此

$(\cos x)' = - \sin x$
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4. 对数函数

$y = f(x) = {\log _a}x\;(a > 0,a \ne 1)$

$y = {\log _a}x,\;0 < x < + \infty$

$\forall x \in (0, + \infty )$ ，设自变量

$x$ 有增量

${\Delta x}$ ，函数对应的增量：

$\Delta y = {\log _a}(x + \Delta x) - {\log _a}x = {\log _a}\left( {\frac{{x + \Delta x}}{x}} \right) = {\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)$
因此

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{x}{\log _a}{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)^{\frac{x}{{\Delta x}}}}$
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因此

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{1}{x}{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right]$

$= \frac{1}{x} \cdot {\log _a}\left[ {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot {\log _a}e = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{\ln a}} = \frac{1}{{x\ln a}}$
（注：