[原创]高等数学笔记(5)

【前言】
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【正文】
三、双曲函数
双曲正弦函数 $shx = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}$
双曲余弦函数 $chx = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}$
双曲正切函数 $thx = \frac{{shx}}{{chx}} = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}$

以上函数与三角函数有类似性质：
$c{h^2}x - s{h^2}x = 1$
$sh2x = 2shxchx$ 类似于 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$
$ch2x = c{h^2}x + s{h^2}x$

三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。
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反双曲正弦函数： $arshx$ 注意：不是 $arc$
反双曲余弦函数： $archx$
反双曲正切函数： $arthx$

求双曲函数的反函数的表达式：
令 $y = arshx \Rightarrow x = shy = \frac{{{e^y} - {e^{ - y}}}}{2}$
令 $u = {e^y}\;\; \Rightarrow \;\;2x = u - \frac{1}{u}\;\; \Rightarrow \;\;{u^2} - 2xu - 1 = 0$
由二次方程的求根公式，得：
$u = \frac{{2x \pm \sqrt {4{x^2} + 4} }}{2} = x \pm \sqrt {{x^2} + 1}$
即 ${e^y} = x \pm \sqrt {{x^2} + 1}$
因为 ${e^y} > 0$
所以 ${e^y} = x + \sqrt {{x^2} + 1}$
所以 $y = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$
即 $arshx = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$
用类似方法可推出：
$arshx = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$
$archx = \ln (x + \sqrt {{x^2} - 1} )$
$arthx = \frac{1}{2}\ln (\frac{{1 + x}}{{1 - x}})$
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主要内容：
一、极限概念：数列概念、函数概念
二、极限性质和运算，无穷小概念和比较
三、函数的连续性

一、数列极限定义
数列：设有定义在自然数集 $N$ 上的函数 ${u_n} = f(n)$ ，称为整标函数（标是指下标 $n$ ）。
把函数值 ${u_n}$ 按照自然数 $n$ 的顺序排列出来的无穷数串：
${u_1},{u_2},{u_3}, \cdots ,{u_n}, \cdots$
叫作数列（序列），第 $n$ 项 ${u_n}$ 称为一般项。
数列简记为 $\{ {u_n}\}$ ，即 $\{ {u_n}\}$ 表示 ${u_1},{u_2}, \cdots ,{u_n}, \cdots$
例如：
$\{ \frac{n}{{n + 1}}\} :\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}, \cdots ,\frac{n}{{n + 1}}, \cdots$
$\{ \frac{1}{{{2^n}}}\} :\frac{1}{2},\frac{1}{{{2^2}}},\frac{1}{{{2^3}}}, \cdots ,\frac{1}{{{2^n}}}, \cdots$
$\left\{ {\frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{2}} \right\}:0,1,0,1, \cdots ,\frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{2}, \cdots$
$\{ \frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}\} :3,\frac{3}{2},\frac{7}{3},\frac{7}{4},\frac{{11}}{5},\frac{{11}}{6}, \cdots ,\frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}, \cdots$
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要研究的问题：当 $n$ 无限增大时（记为 $n \to \infty$ ），数列 $\{ {u_n}\}$ 能否与某一常数 $A$ 无限接近？如果 $\{ {u_n}\}$ 能与 $A$ 无限接近，在数学上如何描述？

例如，设 ${u_n} = \frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}$ ，当 $n \to \infty$ 时 $\{ {u_n}\}$ 的变化趋势如何？（一般地说，两个常数 $a,b$ ，用 $|a - b|$ 来描述两数接近的程度）
${u_n} = \frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n} = 2 + \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}$
$\Rightarrow \;{u_n} - 2 = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}$
$\Rightarrow \;|{u_n} - 2| = |\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}| = \frac{1}{n}$
所以当 $n$ 越大， $\frac{1}{n}$ 就越小， ${u_n}$ 与2越接近。
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给定一个很小的正数 $\frac{1}{{100}}$ ，则由 $|{u_n} - 2| = \frac{1}{n} < \frac{1}{{100}}\; \Rightarrow \;n > 100$ ，只要 $n > 100$ ，就有 $|{u_n} - 2| < \frac{1}{{100}}$
$|{u_n} - 2| < \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow \;2 - \frac{1}{{100}} < {u_n} < 2 + \frac{1}{{100}}$
开区间 $(2 - \frac{1}{{100}},2 + \frac{1}{{100}}) = N(2,\frac{1}{{100}})$ （此邻域以2为中心 ，以 $\frac{1}{{100}}$ 为半径）
当 $n > 100$ 时， $|{u_n} - 2| < \frac{1}{{100}}$ ，说明 ${u_{101}},{u_{102}}, \cdots$ 都落在 $N(2,\frac{1}{{100}})$ 邻域内。
同理给定正数 $\frac{1}{{1000}}$ ，同理可推出：
当 $n > 1000$ 时， $|{u_n} - 2| < \frac{1}{{1000}}$ ， ${u_{1001}},{u_{1002}}, \cdots$ 都落在 $N(2,\frac{1}{{100}})$ 邻域内。

无论给定多么小的正数 $\varepsilon$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时的一切 ${u_n}$ 满足 $|{u_n} - 2| < \varepsilon$

从几何上看，给定邻域 $N(2,\varepsilon )$ ，无论（半径）多么，总存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时， ${u_{n + 1}},{u_{n + 2}}, \cdots$ 都落在 $N(2,\varepsilon )$ 内。
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（第5课完）

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