【正文】
数列极限定义:已知数列 {un} 和常数 A ,如果对于任意给定的正数 ε ,都存在正整数 N ,使得对于 n>N 的一切 un ,不等式 |un−A|<ε 恒成立,则称当 n→∞ 时, {un} 以 A 为极限,或 {un} 收敛于 A 。
记为:
limn→∞un=A ,或 un→A(n→∞)
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如果 un 无极限,就说 {un} 发散( n→∞ )
说明:
1. 定义中的 ε 是任意给定的,只有任意给定 ε>0 ,不等式 |un−A|<ε 才能表达 un 与 A 无限接近。
2. 定义中的 N 与 ε 有关,记为 N(ε) 。随着 ε 的给定选定 N ,且 N 不唯一。
3. 定义只描述了 n→∞ 时 un→A ,但未提供求 A 的方法。
4. 定义的几何意义:任意给定邻域 N(A,ε) ,则必存在 N ,使 uN+1,uN+2,⋯ 落在 N(A,ε) 内。
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例1. 证明 limn→∞2n+(−1)n−1n=2
证:
一般项 un=2n+(−1)n−1n=2+(−1)n−1n
|un−2|=|(−1)n−1n|
对于任意给定的 ε>0 ,为了使 |un−2|<ε ,只需 1n<ε 即可(这是由于 |(−1)n−1|=1 ,而 n>0 ,故 1|n|=1n ,即 |(−1)n−1n|=1n )
或者说, n>1ε 即可。
所以,对于任意给定的 ε>0 ,取正整数 N=[1ε] (注: [] 表示取整符号)
当 n>N 时,,恒有不等式 |un−2|=|2n+(−1)n−1n−2|=1n<ε
按数列极限定义,可知 limn→∞2n+(−1)n−1n=2
注:有人可能不解——为什么N取 [1ε] 时,当 n>N 时有 1n<ε ?这里举一个实际的例子:假设 ε=0.003 ,则 N=[1ε]=[333.333333⋯]=333 ,当 n>N 时, n≥334 ,即 1n=0.002994⋯<ε
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例2. 证明当 n→∞ 时, (n−1)(2n−1)6n2→13
证:
un=(n−1)(2n−1)6n2=13−12n+16n2
⇒un−13=−12n+16n2
⇒|un−13|=|12n−16n2|=12n|1−13n|<12n (这是 13n>0 且 13n<1⇒1−13n∈(0,1)
对于任意给定的 ε>0 ,只要 12n<ε 恒成立,即可证明成功。
即, n>12ε 时,便可得 |un−13|<12n<ε
所以,对任意给定的 ε>0 ,取正整数 N=[12ε] ,则当 n>N 时,恒有 |un−13|<12n<ε
按数列极限定义,有 limn→∞(n−1)(2n−1)6n2=13
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注意:利用数列极限定义来验证 limn→∞un=A 时,关键步骤是指明定义中的 N 确实存在。
由于 N 不是唯一的,所以不一定要找最小的 N ,只要找到一个 N 就可以了。
例如,知道 |un−A|=φ(n) (整标函数),那么由 φ(n)<ε ,求出 N ,这时, n>N 时 φ(n)<ε ,从而知道 |un−A|<ε
例3. 证明 limn→∞(−1)n(n+1)2=0
证 :
|un−0|=|(−1)n(n+1)2−0|=1(n+1)2<1n2<1n(φ(n)=1n)
对任意给定的 ε>0 ,只要 φ(n)=1n<ε ,即 n>1ε 时,恒有不等式 |(−1)n(n+1)2−0|<ε
所以,按照极限定义, limn→∞(−1)n(n+1)2=0
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收敛数列的两个性质:
1. 定理1 若 {un} 的极限存在,则极限值是唯一的。
证:(用反证法来证明)
若 {un} 收敛,且极限不唯一,即:同时有 limn→∞un=a,limn→∞un=b ,且 a<b (注:这是假设的)
由于 limn→∞un 存在,所以对于给定的 ε=b−a4>0 ,有:
必存在正整数 N1 ,使得当 n>N1 时,恒有 |un−a|<b−a4 ;
同理,必存在正整数 N2 ,使得当 n>N2 时,恒有 |un−b|<b−a4 。
取 N=max{N1,N2} ,则当 n>N 时,上面两个不等式同时成立。
因此 b−a=b−un+un−a≤|b−un|+|un−a|<b−a4+b−a4=b−a2
而上式 b−a<b−a2 是不成立的
因此 limn→∞un 是唯一的。
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(第6课完)
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