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[原创]高等数学笔记(6)

【前言】
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【正文】
数列极限定义:已知数列 {un} 和常数 A ,如果对于任意给定的正数 ε ,都存在正整数 N ,使得对于 n>N 的一切 un ,不等式 |unA|<ε 恒成立,则称当 n 时, {un}A 为极限,或 {un} 收敛于 A

记为:
limnun=A ,或 unA(n)
文章来源:http://www.codelast.com/
如果 un 无极限,就说 {un} 发散n
说明:
1. 定义中的 ε 是任意给定的,只有任意给定 ε>0 ,不等式 |unA|<ε 才能表达 unA 无限接近。
2. 定义中的 Nε 有关,记为 N(ε) 。随着 ε 的给定选定 N ,且 N 不唯一
3. 定义只描述了 nunA ,但未提供求 A 的方法。
4. 定义的几何意义:任意给定邻域 N(A,ε) ,则必存在 N ,使 uN+1,uN+2, 落在 N(A,ε) 内。
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例1. 证明 limn2n+(1)n1n=2
证:
一般项 un=2n+(1)n1n=2+(1)n1n
|un2|=|(1)n1n|
对于任意给定的 ε>0 ,为了使 |un2|<ε ,只需 1n<ε 即可(这是由于 |(1)n1|=1 ,而 n>0 ,故 1|n|=1n ,即 |(1)n1n|=1n
或者说, n>1ε 即可。
所以,对于任意给定的 ε>0 ,取正整数 N=[1ε] (注: [] 表示取整符号)
n>N 时,,恒有不等式 |un2|=|2n+(1)n1n2|=1n<ε
按数列极限定义,可知 limn2n+(1)n1n=2

注:有人可能不解——为什么N取 [1ε] 时,当 n>N 时有 1n<ε ?这里举一个实际的例子:假设 ε=0.003 ,则 N=[1ε]=[333.333333]=333 ,当 n>N 时, n334 ,即 1n=0.002994<ε
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例2. 证明当 n 时, (n1)(2n1)6n213
证:
un=(n1)(2n1)6n2=1312n+16n2
un13=12n+16n2
|un13|=|12n16n2|=12n|113n|<12n (这是 13n>013n<1113n(0,1)
对于任意给定的 ε>0 ,只要 12n<ε 恒成立,即可证明成功。
即, n>12ε 时,便可得  |un13|<12n<ε
所以,对任意给定的 ε>0 ,取正整数 N=[12ε] ,则当 n>N 时,恒有 |un13|<12n<ε
按数列极限定义,有 limn(n1)(2n1)6n2=13
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注意利用数列极限定义来验证 limnun=A 时,关键步骤是指明定义中的 N 确实存在。
由于 N 不是唯一的,所以不一定要找最小的 N ,只要找到一个 N 就可以了。

例如,知道 |unA|=φ(n) (整标函数),那么由 φ(n)<ε ,求出 N ,这时, n>Nφ(n)<ε ,从而知道 |unA|<ε

例3. 证明 limn(1)n(n+1)2=0
证 :
|un0|=|(1)n(n+1)20|=1(n+1)2<1n2<1n(φ(n)=1n)
对任意给定的 ε>0 ,只要 φ(n)=1n<ε ,即 n>1ε 时,恒有不等式 |(1)n(n+1)20|<ε
所以,按照极限定义, limn(1)n(n+1)2=0
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收敛数列的两个性质
1. 定理1 {un} 的极限存在,则极限值是唯一的
证:(用反证法来证明)
{un} 收敛,且极限不唯一,即:同时有 limnun=a,limnun=b ,且 a<b (注:这是假设的)
由于 limnun 存在,所以对于给定的 ε=ba4>0 ,有:
必存在正整数 N1 ,使得当 n>N1 时,恒有 |una|<ba4
同理,必存在正整数 N2 ,使得当 n>N2 时,恒有 |unb|<ba4
N=max{N1,N2} ,则当 n>N 时,上面两个不等式同时成立。
因此 ba=bun+una|bun|+|una|<ba4+ba4=ba2
而上式 ba<ba2 是不成立的
因此 limnun 是唯一的。
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(第6课完)

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