【正文】
例：证明数列 {un}={(−1)nnn+1} 是发散的。
证：
{un}:−12,23,−34,45,⋯
当 n 取奇数 2m−1(m<N) 时，得到数列（注：对应到原来的 u1,u3,u5,⋯ ）：
−12,−34,−56,⋯,−2m−12m,⋯
数列 {u2m−1} 从 −12 开始单调减。
当 n 取偶数 2m(m∈N) 时，得到数列（注：对应到原来的的 u2,u4,u6,⋯ ）：
23,45,67,⋯,2m2m+1,⋯
数列 {u2m} 从 23 开始单调增。
如下图所示：
下面，用反证法来证明。在这之前，要做一个准备工作（进行一个“无厘头”的推导），因为后后面的反证法会用到这个结论：
u2−u1=23−(−12)=76>1
这说明，距离最短的两个点 u1,u2 之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。
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假设 un→A(n→∞) （ A 是唯一的）
由极限定义，给定正数 ε=12>0 ，必存在一个正整数 N ，使得当 n>N 时，恒有不等式 |un−A|<12
因此 A−12<un<A+12 ，即 un∈(A−12,A+12),(n>N)
因此 uN+1,uN+2,uN+3,⋯∈(A−12,A+12)
区间 (A−12,A+12) 长度为1
而 uN+1,uN+2 落在长度为1的区间 (A−12,A+12) 内是不可能的（由前面推导的“无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内）
因此 {(−1)nnn+1} 是发散的。
证毕。
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有界数列：对于数列 {un} ，如果存在一个正数 M>0 ，使得一切 un 都有 |un|≤M ，则称 {un} 有界。
2. 定理2 如果 {un} 收敛，则 {un} 一定是有界的。
证：
由于 {un} 收敛，可设 limn→∞un=A
由极限定义，对给定正数 ε=1 ，必存在正整数 N ，使得 n>N 时，恒有 |un−A|<1⇔A−1<un<A+1
因此 |un|=|un−A+A|≤|un−A|+|A|≤1+|A| （和的绝对值 ≤ 绝对值的和）
现取 M=max{|u1|,⋯,|un|,1+|A|}(n>N) （有限个数，最大值一定存在）
于是 |un|≤M(n=1,2,⋯)
所以 {un} 是有界的。
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讨论 x 为连续自变量时，函数 y=f(x) 的极限。
1. 自变量 x 任意地接近于定值 x0 ，或 x 趋向于 x0 （记为 x→x0 ），对应的函数值 f(x) 的变化趋势。
2. 自变量 x 的绝对值 |x| 无限增大（记为 x→∞ ），对应的函数值 f(x) 的变化趋势。
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（第7课完）
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