[原创] line search中的重要定理 - 梯度与方向的点积为零

对精确的line search（线搜索），有一个重要的定理：

这个定理表明，当前点在 ${d_k}$ 方向上移动到的那一点（ ${x_k} + {\alpha _k}{d_k}$ ）处的梯度，与当前点的搜索方向 ${d_k}$ 的点积为零。

其中， ${\alpha _k}$ 是称之为“步长”的一个实数，它是通过line search算法求出来的。

为什么会有这样的结论？我们来看看。
对每一个line search过程来说，搜索方向 ${d_k}$ 已经已经是确定的了（在最优化算法中，如何找出一个合适的 ${d_k}$ 不是line search干的事情）。所以，在一个确定的 ${d_k}$ 上，要找到一个合适的 ${\alpha _k}$ ，使得 $\phi (\alpha ) = f({x_k} + \alpha {d_k})$ 这个函数满足 $f({x_k} + {\alpha _k}{d_k}) < f({x_k})$ ，这就是line search的目的。说白了，就是要找到 ${\alpha _k}$ 使 $\phi (\alpha )$ 的函数函数值变小。
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但是，要小到什么程度呢？假设小到有可能的“最小”，即：
$\phi ({\alpha _k}) = f({x_k} + {\alpha _k}{d_k}) = \mathop {\min }\limits_{\alpha > 0} f({x_k} + \alpha {d_k}) = \mathop {\min }\limits_{\alpha > 0} \phi (\alpha )$
那么，我们称这样的line search为“精确的line search”——你看，这名字好贴切：我们精确地找到了函数值最小的那个点。

既然 ${x_k} + {\alpha _k}{d_k}$ 是函数值最小的那个点，那么，在该点处的一阶导数（即梯度）为零，所以我们对上式求导（ $\alpha$ 是自变量， ${x_k}$ 和 ${d_k}$ 为常量）：
$\phi '({\alpha _k}) = {\left[ {f({x_k} + {\alpha _k}{d_k})} \right]^\prime } \cdot (0 + 1 \cdot {d_k}) = {\left[ {f({x_k} + {\alpha _k}{d_k})} \right]^\prime }{d_k} = \nabla f{({x_k} + {\alpha _k}{d_k})^T}{d_k} = 0$
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这就是我们前面说的定理了。

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