[原创]高等数学笔记(22)

【前言】
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【正文】

（1）由于自变量 $x$ 的变化引起函数 $y = f(x)$ 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。
（2）由于自变量的微小改变（增量 $\Delta x$ 很小时）引起 $y = f(x)$ 的改变量 $\Delta y$ 的近似值问题——微分问题。
（3）求导数或微分——微分法。

一、两个实例
1.直线运动的瞬时速度问题
设质点沿直线作非匀速运动，其走过的路程 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系 $s = s(t)$ ，求某一时刻 ${t_0}$ 时的瞬时速度。
设从时刻 ${t_0}$ 到 ${t_0} + \Delta t$ 这段时间内质点走过的路程为 $\Delta s = s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})$

从 ${t_0}$ 到 ${t_0} + \Delta t$ 这段时间内，平均速度 $\overline v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})}}{{\Delta t}}$
对非匀速运动的质点，平均速度 $\overline v$ 可以作为 ${t_0}$ 时刻瞬时速度的近似值（ ${\Delta t}$ 很小时）：
${\left. v \right|_{t = {t_0}}} \approx \overline v$
$\Delta t$ 越小， $\overline v$ 与 ${\left. v \right|_{t = {t_0}}}$ 越接近。
如果当 $\Delta t \to 0$ 时， $\overline v$ 的极限存在，即：
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \overline v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})}}{{\Delta t}} = {v_0}$
则有 ${\left. v \right|_{t = {t_0}}} = {v_0}$
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2.曲线在一点处的切线斜率

切线：当 $P' \to {P_0}$ 时，割线 ${P_0}P'$ 的极限位置 ${P_0}T$ 称为曲线的切线

割线： ${P_0}({x_0},f({x_0})),P'({x_0} + \Delta x,f({x_0} + \Delta x))$
割线斜率 $\bar k = \tan {\alpha _1} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$
当 $P' \to {P_0}$ 时， $\Delta x \to 0$
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \bar k = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$
切线 ${P_0}T$ 的斜率 $k = \tan \alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \bar k = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$
（注： $\alpha$ 为切线的倾斜角）
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二、导数定义
<定义1> 设 $y = f(x)$ 在 $N({x_0},\delta ),\delta > 0$ 内有定义，当自变量 $x$ 在 ${x_0}$ 点有增量 ${\Delta x}$ （ ${x_0} + \Delta x \in N({x_0},\delta )$ ），函数 $y = f(x)$ 相应的增量为 $\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})$ ，如果极限 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ 存在，则称 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点可导，并称此极限值为 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的导数。
记为：
$y'{|_{x = {x_0}}},\;f'({x_0}),\;{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}},\;{\left. {\frac{{df(x)}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}}$
即 $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$
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直线运动的瞬时速度 $v{|_{t = {t_0}}} = s'(t){|_{t = {t_0}}}$
曲线在 $({x_0},f({x_0}))$ 的切线斜率 $k{|_{x = {x_0}}} = f'({x_0})$

导数定义的另一种极限形式—— $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的导数可以定义为：
若记 $x = {x_0} + \Delta x$ （即 $\Delta x = x - {x_0}$ ）
当 $\Delta x \to 0$ 时， $x \to {x_0}$
$\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})$
$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$
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$y = f(x)$ 在 ${{x_0}}$ 点可导，记为 $f(x) \in D({x_0})$
$y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处都可导，则称 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，记为 $f(x) \in D(a,b)$
$y = f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，记为 $f(x) \in D(I)$
若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导， $\forall x \in (a,b)$ ，就有 $f'(x)$ 与 $x$ 对应，由函数定义，可知 $f'(x)$ 是定义在 $(a,b)$ 上的函数， $f'(x)$ 称为导函数，一般还称为导数。
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例1. 求函数 $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ 的导函数（ $x \ne 0$ ）
解：
$y = \frac{1}{{{x^2}}}$ 定义域为 $( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )$
$\forall x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )$ ，自变量有增量 $\Delta x$ ，且 $x + \Delta x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )$
函数 $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ 对应的增量 $\Delta y = \frac{1}{{{{(x + \Delta x)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{ - 2x \cdot \Delta x - {{(\Delta x)}^2}}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}}$
作比值：
$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 2x - \Delta x}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}}$
求极限：
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2x - \Delta x}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}} = - \frac{2}{{{x^3}}}$
即 ${\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - \frac{2}{{{x^3}}}$
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（第22课完）

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