[原创] 蒙特卡罗方法的实例1：计算圆周率

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为了对蒙特卡罗方法有一个直观的印象，我们先举一个实例（计算圆周率 $\pi$ ），让从来没有接触过蒙特卡罗方法的人产生“原来这就是Monte Carlo”的感觉，以减少刚开始学习的困惑。

非蒙特卡罗方法

圆周率 $\pi$ 可以怎么计算？其中一个“常规”的方法就是利用 $\pi$ 的莱布尼茨公式：
$\frac{\pi }{4} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$
不断增大 $n$ 的值，就能越来越逼近 $\frac{\pi }{4}$
当 $n$ 的最大值取30000时，可以计算得 $\pi = 3.141559320256462$

蒙特卡罗方法

相比之下，用蒙特卡罗方法来计算 $\pi$ ，可能就是一个比较“另类”的途径了。
假设圆外部有一个相切的正方形，如下图所示：

https://www.codelast.com/
设圆面积为C，正方形面积为S，则利用面积公式可以轻易算得： $\frac{C}{S} = \frac{{\pi {r^2}}}{{{{(2r)}^2}}} = \frac{\pi }{4}$
然后，我们在正方形内随机生成30000个点（当然可以生成更多，这里只是用30000举个例子），分别计算这些点与圆心的距离，距离<r 表示点在圆内部：

https://www.codelast.com/
从面积之比可知：如果点是均匀分布的，则圆内的点的数量应该占所有点数量的 $\frac{\pi }{4}$ ，计算数量之比，再乘以4，即可得圆周率。
在某一次实验中，模拟30000个点， $\pi$ 的估算值与真实值相差0.07%
所以，这里正是巧妙地利用了“随机”这个技术，来计算了圆周率，这种方法就属于蒙特卡罗方法。