learnhard

【前言】
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【正文】
例2. 证明函数 $y = \sqrt[3]{x},y = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ 在 $x = 0$ 点连续，但是在 $x = 0$ 点不可导。

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【正文】
<定义2> 设函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的左侧 $[{x_0} + \Delta x,{x_0}]$ （ $\Delta x < 0$ ）有定义，如果极限 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的左导数，记为 ${{f'}_ - }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$

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【正文】

（1）由于自变量 $x$ 的变化引起函数 $y = f(x)$ 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。
（2）由于自变量的微小改变（增量 $\Delta x$ 很小时）引起 $y = f(x)$ 的改变量 $\Delta y$ 的近似值问题——微分问题。
（3）求导数或微分——微分法。

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【正文】
四、连续函数在闭区间上的性质

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【正文】
（3）复合函数的连续性：设 $u = \varphi (x)$ 在 ${x_0}$ 处连续， $\varphi ({x_0}) = {u_0}$ ，而 $y = f(u)$ 在 ${u_0}$ 点处连续，则复合函数 $f\left[ {\varphi (x)} \right]$ 在 ${x_0}$ 点处连续。

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【正文】
三、初等函数的连续性
1. 连续函数的和、积、商的连续性
（1）有限个在某点连续的函数的代数和仍然是在该点连续的函数
（2）有限个在某点连续的函数的乘积仍然是在该点连续的函数
（3）两个在某点连续的函数的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处函数值不零

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