Monte Carlo method

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在前面的文章中，我们看到，随机采样是一个蒙特卡罗方法中很关键的步骤。而采样是需要技巧的，单纯地增加采样次数太没有效率了，比如说，如果随机采样一亿次，你可以把结果计算得特别精确，但是采样一亿次需要的时间非常长，长得远远超过了我们能接受的范围，这又有什么意义呢？
人们发现，有一些方法可以让随机采的样本“特别好”。那么什么算“特别好”呢？比如说，本来使用没有任何原则的采样方法，需要采样1万个点，才能让计算出来的结果很接近真实值；现在使用一个“特别好”的采样方法，可以让我们只需要采样100个点，就可以让计算出来的结果很接近真实值了，这样就极大地减少了计算量。

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• 区别

讲到这里，稍微提一下，随机算法可以分为两类：蒙特卡洛算法 & 拉斯维加斯算法。
对蒙特卡洛算法来说，采样越多，越近似最优解。
对拉斯维加斯算法来说，它永远给出正确解的随机化算法，总是给出正确结果，或是返回失败。

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为了对蒙特卡罗方法有一个直观的印象，本文再举一个实例（计算定积分），以说明蒙特卡罗方法的用途。

• 什么是定积分

对于一个给定的正实值函数 $f(x)$ ，它在一个实数区间 [a,b]上的定积分 $\int_a^b {f(x)dx}$ 可以理解为在 OXY 坐标平面上，由曲线 (x,f(x))、直线 x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值。

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• 定义

来自维基百科：

蒙特卡罗（洛）方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。是指使用随机数来解决很多计算问题的方法。

也就是说，蒙特卡罗方法并不是指一种特定的算法，而是一类算法的总称，这种算法主要利用了“随机”来实现。

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蒙特卡罗(洛)方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。是指使用随机数来解决很多计算问题的方法。

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为了对蒙特卡罗方法有一个直观的印象，我们先举一个实例（计算圆周率 $\pi$ ），让从来没有接触过蒙特卡罗方法的人产生“原来这就是Monte Carlo”的感觉，以减少刚开始学习的困惑。

• 非蒙特卡罗方法

圆周率 $\pi$ 可以怎么计算？其中一个“常规”的方法就是利用 $\pi$ 的莱布尼茨公式：
$\frac{\pi }{4} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$
不断增大 $n$ 的值，就能越来越逼近 $\frac{\pi }{4}$

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